seychellesartprojects.org

Co je to exponenciální distribuce?

Exponenciální distribuce se týká kontinuálního a konstantního rozdělení pravděpodobnosti, které se ve skutečnosti používá k modelování časového období, které člověk potřebuje čekat, než se daná událost stane, a toto rozdělení je kontinuálním protějškem geometrického rozdělení, které je místo toho odlišné.

Vzorec exponenciálního rozdělení

Spojitá náhodná proměnná x (s parametrem měřítka λ> 0) má exponenciální rozdělení pouze v případě, že lze jeho funkci hustoty pravděpodobnosti vyjádřit vynásobením parametru měřítka exponenciální funkcí minus parametru měřítka a x pro všechna x větší než nebo rovno nule, jinak je funkce hustoty pravděpodobnosti rovna nule.

Matematicky je funkce hustoty pravděpodobnosti reprezentována jako,

tak, že průměr se rovná 1 / λ a rozptyl se rovná 1 / λ2.

Výpočet exponenciálního rozdělení (krok za krokem)

• Krok 1: Nejprve se pokuste zjistit, zda je zvažovaná událost kontinuální a nezávislá a vyskytuje se zhruba konstantní rychlostí. Jakákoli praktická událost zajistí, že proměnná bude větší nebo rovna nule.
• Krok 2: Dále určete hodnotu parametru měřítka, což je vždy převrácená hodnota střední hodnoty.

• • λ = 1 / průměr

• Krok 3: Dále vynásobte parametr měřítka λ a proměnnou x a poté vypočítejte exponenciální funkci produktu vynásobenou mínus jedna, tj. E– λ * x.
• Krok 4: Nakonec se funkce hustoty pravděpodobnosti vypočítá vynásobením exponenciální funkce a parametru měřítka.

Pokud výše uvedený vzorec platí pro všechna x větší nebo rovna nule, pak x je exponenciální rozdělení.

Příklad

Tuto šablonu aplikace Exponential Distribution Excel si můžete stáhnout zde - Šablona aplikace Exponential Distribution Excel

Vezměme si příklad, x, což je množství času (v minutách), které kancelářský peon potřebuje k doručení ze stolu vedoucího ke stolu úředníka. Předpokládá se, že funkce času má exponenciální rozdělení s průměrným časem rovným pěti minutám.

Vzhledem k tomu, že x je spojitá náhodná proměnná, protože se měří čas.

Průměr, μ = 5 minut

Proto parametr měřítka, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Funkci pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení lze tedy odvodit jako,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Nyní vypočítáme pravděpodobnostní funkci při různých hodnotách x a odvodíme distribuční křivku.

Pro x = 0

funkce pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení pro x = 0 bude,

Podobně vypočítejte funkci pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení pro x = 1 až x = 30

• Pro x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
• Pro x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
• Pro x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
• Pro x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
• Pro x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
• Pro x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
• Pro x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
• Pro x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
• Pro x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
• Pro x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
• Pro x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
• Pro x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
• Pro x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
• Pro x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
• Pro x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
• Pro x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
• Pro x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
• Pro x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
• Pro x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
• Pro x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
• Pro x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
• Pro x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
• Pro x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
• Pro x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
• Pro x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
• Pro x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
• Pro x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
• Pro x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
• Pro x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
• Pro x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
• Pro x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Odvodili jsme distribuční křivku následovně,

Relevance a použití

Přestože je předpoklad konstantní rychlosti ve scénářích reálného světa velmi zřídka splněn, je-li časový interval zvolen takovým způsobem, že rychlost je zhruba konstantní, lze jako dobrý přibližný model použít exponenciální rozdělení. Má mnoho dalších aplikací v oblasti fyziky, hydrologie atd.

Ve statistikách a teorii pravděpodobnosti se výraz exponenciálního rozdělení týká rozdělení pravděpodobnosti, které se používá k definování času mezi dvěma po sobě jdoucími událostmi, které se vyskytují nezávisle a nepřetržitě při konstantní průměrné rychlosti. Je to jedno z široce používaných spojitých distribucí a úzce souvisí s Poissonovým rozdělením v aplikaci Excel.