seychellesartprojects.org

Definice centrální limitní věty

Centrální limitní věta uvádí, že náhodné vzorky populační náhodné proměnné s jakýmkoli rozdělením se přiblíží k normální distribuci pravděpodobnosti, jak se zvětší velikost vzorku, a předpokládá, že když velikost vzorku v populaci přesáhne 30, střední hodnota vzorku, jehož průměr ze všech pozorování u vzorku se bude blížit průměru k populaci.

Centrální limitní věta

Již jsme diskutovali o tom, že když velikost vzorku přesáhne 30, rozdělení má tvar normálního rozdělení. Pro určení normálního rozdělení proměnné je důležité znát její průměr a její rozptyl. Normální rozdělení lze uvést jako

X ~ N (µ, α)

Kde

• N = počet pozorování
• µ = průměr z pozorování
• α = směrodatná odchylka

Ve většině případů pozorování neprozradí mnoho v surové podobě. Je tedy velmi důležité standardizovat pozorování, abychom to mohli porovnat. Dělá se to pomocí z-skóre. Je nutné vypočítat Z-skóre pro pozorování. Vzorec pro výpočet z-skóre je

Z = (X- µ) / α / √n

Kde

• Z = Z-skóre pozorování
• µ = průměr z pozorování
• α = směrodatná odchylka
• n = velikost vzorku

Vysvětlení

Centrální limitní věta uvádí, že náhodné vzorky populační náhodné proměnné s jakýmkoli rozdělením se přiblíží k normální distribuci pravděpodobnosti, jak se zvětší velikost vzorku. Centrální limitní věta předpokládá, že když velikost vzorku v populaci přesáhne 30, bude průměr vzorku, jehož průměr ze všech pozorování u vzorku se bude blížit průměru k populaci. Rovněž směrodatná odchylka vzorku, když velikost vzorku přesáhne 30, se bude rovnat směrodatné odchylce populace. Jelikož je vzorek náhodně vybrán z celé populace a velikost vzorku je větší než 30, pomáhá při testování hypotéz a konstrukci intervalu spolehlivosti pro testování hypotéz.

Příklady vzorce střední limitní věty (s šablonou Excel)

Tuto šablonu Excel Limitní věta vzorce Excel si můžete stáhnout zde - Šablona Excel limitní věty vzorce Excel

Příklad č. 1

Pojďme pochopit koncept normálního rozdělení pomocí příkladu. Průměrný výnos z podílového fondu je 12% a standardní odchylka od průměrného výnosu z investice do podílového fondu je 18%. Pokud předpokládáme, že rozdělení výnosu je normálně rozděleno, pojďme interpretovat rozdělení výnosu v investici podílového fondu.

Vzhledem k tomu,

• Průměrná návratnost investice bude 12%
• Směrodatná odchylka bude 18%

Abychom tedy zjistili návratnost 95% intervalu spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako

• Horní rozsah = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Dolní rozsah = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Výsledek znamená, že 95% případů bude výnos z podílového fondu v rozmezí 47% až -23%. V tomto příkladu nám velikost vzorku, což je výnos náhodného vzorku s více než 30 pozorováními návratu, poskytne výsledek pro populační výnos podílového fondu, protože rozdělení vzorku bude normálně distribuováno.

Příklad č. 2

Pokračováním stejného příkladu určíme, jaký bude výsledek pro 90% interval spolehlivosti

Vzhledem k tomu,

• Průměrná návratnost investice bude 12%
• Směrodatná odchylka bude 18%

Abychom tedy zjistili návratnost 90% intervalu spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako

• Horní rozsah = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Dolní rozsah = 12 - 1,65 (18) = -18%

Výsledek znamená, že 90% případů bude návratnost podílového fondu v rozmezí 42% až -18%.

Příklad č. 3

Pokračováním stejného příkladu určíme, jaký bude výsledek pro 99% interval spolehlivosti

Vzhledem k tomu,

• Průměrná návratnost investice bude 12%
• Směrodatná odchylka bude 18%

Abychom tedy zjistili návratnost 90% intervalu spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako

• Horní rozsah = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Dolní rozsah = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Výsledek znamená, že 99% případů, kdy se výnos z podílového fondu bude pohybovat v rozmezí 58% až -34%.

Relevance a použití

Centrální limitní věta je nesmírně užitečná, protože umožňuje výzkumníkovi předpovědět průměr a směrodatnou odchylku celé populace pomocí vzorku. Jelikož je vzorek náhodně vybrán z celé populace a velikost vzorku je větší než 30, pak se jakákoli náhodná velikost vzorku odebraná z populace přiblíží k normální distribuci, což pomůže při testování hypotéz a konstrukci intervalu spolehlivosti pro hypotézu testování. Na základě centrální limitní větyvýzkumný pracovník je schopen vybrat libovolný náhodný vzorek z celé populace a je-li velikost vzorku větší než 30, může pomocí vzorku předpovědět populaci, protože vzorek bude sledovat normální rozdělení a také jako průměr a směrodatná odchylka vzorku bude stejná jako průměr a směrodatná odchylka populace.