seychellesartprojects.org

Vzorec pro výpočet binomického rozdělení

Binomický distribuční vzorec se používá k výpočtu pravděpodobnosti získání x úspěchů v n pokusech binomického experimentu, které jsou nezávislé a pravděpodobnost je odvozena kombinací počtu pokusů a počet úspěchů představovaných nCx je vynásoben pravděpodobností úspěchu na sílu počtu úspěchů představovaných px, která se dále znásobí pravděpodobností selhání zvýšenou na sílu rozdílu mezi počtem úspěchů a počtem pokusů představovaných (1-p) nx.

Pravděpodobnost získání x úspěchů v n nezávislých studiích binomického experimentu je dána následujícím vzorcem binomického rozdělení:

P (X) = _n C _x px (1-p) nx

kde p je pravděpodobnost úspěchu

Ve výše uvedené rovnici se používá _n C _x , což není nic jiného než kombinační vzorec. Vzorec pro výpočet kombinací je uveden jako _n C _x = n! / X! (nx)!  kde n představuje počet položek (nezávislé pokusy) a x představuje počet položek vybraných současně (úspěchy).

V případě n = 1 v binomické distribuci je distribuce známá jako Bernoulliho distribuce. Průměr binomického rozdělení je np. Rozptyl binomického rozdělení je np (1-p).

Výpočet binomického rozdělení (krok za krokem)

Výpočet binomické distribuce lze odvodit pomocí následujících čtyř jednoduchých kroků:

• Krok 1: Vypočítejte kombinaci mezi počtem pokusů a počtem úspěchů. Vzorec pro _n C _x je kde n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Pro číslo n lze faktoriál n zapsat jako, n! = n * (n-1)! Například 5! je 5 * 4 * 3 * 2 * 1
• Krok 2: Vypočítejte pravděpodobnost úspěchu zvýšenou na sílu počtu úspěchů, které jsou px.
• Krok 3: Vypočítejte pravděpodobnost selhání zvýšenou na rozdíl mezi počtem úspěchů a počtem pokusů. Pravděpodobnost selhání je 1-p. To tedy znamená získání (1-p) nx
• Krok 4: Zjistěte součin výsledků získaných v kroku 1, kroku 2 a kroku 3.

Příklady

Tuto šablonu Excel pro binomické distribuční vzorce si můžete stáhnout zde - Šablona Excel pro binomické distribuční vzorce

Příklad č. 1

Počet pokusů (n) je 10. Pravděpodobnost úspěchu (p) je 0,5. Proveďte výpočet binomického rozdělení pro výpočet pravděpodobnosti získání přesně 6 úspěchů.

Řešení:

Následující data použijte pro výpočet binomické distribuce.

Výpočet binomického rozdělení lze provést následovně,

P (x = 6) = ₁₀ C ₆ * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

Pravděpodobnost získání přesně 6 úspěchů  bude-

P (x = 6) = 0,205

Pravděpodobnost získání přesně 6 úspěchů je 0,2051

Příklad č. 2

Manažer pojišťovací společnosti prochází daty pojistných smluv prodaných prodejci pojištění, kteří pod ním pracují. Zjistil, že 80% lidí, kteří si kupují pojištění motorových vozidel, jsou muži. Chce zjistit, že pokud bude náhodně vybráno 8 majitelů pojištění motorových vozidel, jaká by byla pravděpodobnost, že přesně 5 z nich jsou muži.

Řešení: Nejprve musíme zjistit, co jsou n, p a x.

Výpočet binomického rozdělení lze provést následovně,

P (x = 5) = ₈ C ₅ * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

Pravděpodobnost přesně 5 úspěchů  bude-

P (x = 5) = 0,14680064

Pravděpodobnost, že přesně 5 vlastníků pojištění motorových vozidel budou muži, je 0,14680064.

Příklad č. 3

Vedení nemocnice je nadšeno zavedením nového léku pro léčbu pacientů s rakovinou, protože šance na úspěšnou léčbu je velmi vysoká. Pravděpodobnost, že bude pacient úspěšně léčen lékem, je 0,8. Lék se podává 10 pacientům. Najděte pravděpodobnost, že to bude úspěšně léčeno 9 nebo více pacientů.

Řešení: Nejprve musíme zjistit, co je n, p a x.

Musíme zjistit pravděpodobnost, že jím bude úspěšně léčeno 9 nebo více pacientů. Tímto způsobem je tedy úspěšně léčeno 9 nebo 10 pacientů

x (číslo, pro které musíte najít pravděpodobnost) = 9 nebo x = 10

Musíme najít P (9) a P (10)

Výpočet binomického rozdělení k nalezení P (x = 9) lze provést následovně,

P (x = 9) = ₁₀ C ₉ * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

Pravděpodobnost 9 pacientů  bude-

P (x = 9) = 0,2684

Výpočet binomického rozdělení k nalezení P (x = 10) lze provést následovně,

P (x = 10) = ₁₀ C ₁₀ * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

Pravděpodobnost 10 pacientů  bude

P (x = 10) = 0,1074

Proto P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Pravděpodobnost, že 9 nebo více pacientů bude léčeno tímto lékem, je tedy 0,375809638.  

Binomická distribuční kalkulačka

Můžete použít následující binomickou distribuční kalkulačku.

n
p
X
Vzorec pro binomické rozdělení =

Vzorec pro binomické rozdělení =	n C x * px * (1 -p) nx
	0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 =	0

Relevance a použití

• Existují pouze dva výsledky
• Pravděpodobnost každého výsledku zůstává od pokusu k soudu konstantní
• Existuje pevný počet pokusů
• Každá studie je nezávislá, tj. Vzájemně se vylučuje od ostatních
• Poskytuje nám frekvenční rozdělení možného počtu úspěšných výsledků v daném počtu pokusů, kde každá z těchto daných zkoušek má stejnou pravděpodobnost úspěchu.
• Každá studie v binomickém experimentu může vyústit v pouhé dva možné výsledky. Název je tedy „binomický“. Jeden z těchto výsledků je znám jako úspěch a druhý jako neúspěch. Například nemocní lidé mohou na léčbu reagovat, nebo ne.
• Podobně, když hodíme minci, můžeme mít jen dva typy výsledků: hlavy nebo ocasy. Binomická distribuce je diskrétní distribuce používaná ve statistikách, která se liší od kontinuální distribuce.

Příkladem binomického experimentu je hod mincí, řekněme třikrát. Když hodíme mincí, jsou možné pouze 2 výsledky - hlavy a ocasy. Pravděpodobnost každého výsledku je 0,5. Vzhledem k tomu, že mince je hodena třikrát, počet pokusů je stanoven na 3. Pravděpodobnost každého losování není ovlivněna jinými losováními.

Binomická distribuce nachází své uplatnění ve statistikách společenských věd. Používá se pro vývoj modelů pro proměnné dichotomických výsledků, kde existují dva výsledky. Příkladem toho je, zda by volby vyhráli republikáni nebo demokraté.

Vzorec pro binomické rozdělení v aplikaci Excel (se šablonou aplikace Excel)

Saurabh se ve škole dozvěděl o rovnici binomického rozdělení. Chce o konceptu diskutovat se svou sestrou a vsadit s ní. Myslel si, že 10krát hodí nezaujatou minci. Chce vsadit 100 $ na získání přesně 5 ocasů v 10 losováních. Pro účely této sázky chce vypočítat pravděpodobnost získání přesně 5 ocasů v 10 losováních.

Řešení: Nejprve musíme zjistit, co je n, p a x.

Existuje vestavěný vzorec pro binomickou distribuci, což je Excel

Je to BINOM.DIST (počet úspěchů, zkoušek, pravděpodobnost úspěchu, FALSE).

Pro tento příklad binomické distribuce by bylo:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), kde buňka B2 představuje počet úspěchů, buňka B3 představuje počet pokusů a buňka B4 představuje pravděpodobnost úspěchu.

Proto bude výpočet binomické distribuce

P (x = 5) = 0,24609375

Pravděpodobnost získání přesně 5 ocasů v 10 losování je 0,24609375

Poznámka: FALSE ve výše uvedeném vzorci označuje funkci pravděpodobnostní hmotnosti. Vypočítá pravděpodobnost, že z n nezávislých pokusů bude přesně n úspěchů. TRUE označuje funkci kumulativní distribuce. Vypočítá pravděpodobnost maximálního počtu x úspěchů z n nezávislých studií.